makalah matematika: “masalah penemuan dan pembuktian”


BAB I
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah
Matematika sebagai ilmu pengetahuan dengan penalaran deduktifmengandalkan logikadalam meyakinkan akan kebenaran suatu pernyataan. Faktor intuisi dan pola berpikirinduktif banyak berperan pada proses awal dalam merumuskan suatu konjektur (conjecture)yaitu dugaan awal dalam matematika. Proses penemuan dalam matematika dimulai dengan pencarian pola dan struktur, contoh kasus dan objek matematika lainnya.Selanjutnya, semua informasi dan fakta yang terkumpul secara individual inidibangun suatu koherensi untuk kemudian disusun suatu konjektur. Setelah konjekturdapat dibuktikan kebenarannya atau ketidakbenaranya maka selanjutnya ia menjadi suatu teorema. Pernyataan pernyataan matematika seperti definisi, teorema dan pernyataan lainnya.
pada umumnya berbentuk kalimat logika, dapat berupa implikasi, biimplikasi, negasi, atau berupa kalimat berkuantor. Operator logika seperti and, or, not, xor juga sering termuat dalam suatu pernyataan matematika. Jadi membuktikan kebenaran suatu teorema tidak lain adalah membuktikan kebenaran suatu kalimat logika. Materi logika sudah diberikan sejak di bangku SLTA. Namun selama ini, sebagian siswa atau guru masih menganggap logika sebagai materi hapalan, khususnya menghapal tabel kebenaran. Belum tahu mengapa dan untuk apa logika dipelajari.Tanpa menguasai logika maka sulit untuk terbentuknya apa yang disebut dengan logicallythinking. Apa yang terbentuk pada siswa, mahasiswa, guru atau bahkan dosen selama ini lebih dominan pada algorithm thinking atau berpikir secara algoritma.
.Pada tahap awal, pekerjaan memahami bukti bukanlah sesuatu yang menarik karena kita lebih banyak bergelut dengan simbol dan pernyataan logika ketimbangberhadapan dengan angka-angka yang biasanya dianggap sebagai karakter matematika.Kenyataan inilah menjadikan salah satu alasan orang malas untuk memahami buktidalam matematika. Alasan lainnya adalah pekerjaan membuktikan lebih sulit dan tidakpenting. Padahal banyak manfaat yang dapat diperoleh pada pengalaman membuktikanini, salah satunya adalah melatih logically thinking dalam belajar matematika.

1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang tersebut, maka diperoleh permasalahan antara lain:
Bagaimana masalah penemuan dan pembuktian dalam matematika ?
1.3 Tujuan
Tujuan pembuatan makalah ini adalah untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Pemecahan masalah dalam matematika di SD serta untuk wawasan dan ilmu kami tentang masalah penemuan dan pembuktian.
1.4. Metode dan Prosedur
Metode yang digunakan penulis dalam penyusunan makalah ini yaitu dengan mengumpulkan informasi dari berbagai sumber buku dan browsing di internet.

BAB II
PEMBAHASAN

2.1. Pemecahan Masalah Dalam Matematika
Pemecahan masalah merupakan bagian dari kurikulum matematika yang sangat penting karena dalam proses pembelajaran maupun penyelesaiannya, siswa dimungkinkan memperoleh pengalaman menggunakan pengetahuan serta keterampilan yang sudah dimiliki untuk diterapkan pada pemecahan masalah yang bersifat tidak rutin. Melalui kegiatan ini aspek-aspek kemam-puan matematika yang penting seperti penerapan aturan pada masalah tidak rutin, penemuan pola, penggeneralisasian, komunikasi matematika dan lain-lain dapat dikembangkan secara lebih baik.
Sebagaimana tercantum dalam kurikulum matematika sekolah bahwa tujuan diberikannya matematika antara lain agar siswa mampu menghadapi perubahan keadaan yang selalu berkembang, melalui latihan bertindak atas dasar pemikiran secara logis, rasional, kritis, cermat, jujur dan efektif. Tuntutan tersebut tidak mungkin tercapai bila pembelajaran hanya berbentuk hafalan, latihan pengerjaan soal yang rutin, serta proses pembelajaran yang “teacher centered” yang tidak menuntut siswa untuk mengoptimalkan daya fikirnya. Menurut Gagne (1970), keterampilan intelektual tingkat tinggi dapat dikembangkan melalui pemecahan masalah.
Hudojo (1988: 119) menyatakan untuk menyelesaikan suatu masalah, seseorang harus menguasai berbagai hal yang telah dipelajari sebelumnya dan kemudian menggunakannya dalam situasi baru. Selanjutnya Hudojo (1990: 168) juga menyatakan bahwa seseorang dalam merencanakan penyelesaian suatu masalah harus dapat memilih teorema ataupun konsep yang telah dipelajari untuk dikombinasikan sehingga dapat digunakan dalam menyelesaikan masalah tersebut, oleh karena itu masalah yang disajikan kepada siswa harus disesuaikan dengan kesiapan siswa.
Pemecahan masalah matematika seperti halnya pemecahan masalah pada umumnya mempunyai berbagai interpretasi. Menurut Baroody (1993: a) ada tiga interpretasi pemecahan masalah yaitu: pemecahan masalah sebagai pendekatan (approach) tujuan (goal), dan proses (process) pembelajaran. Pemecahan masalah sebagai pendekatan maksudnya pembelajaran diawali dengan masalah, selanjutnya siswa diberi kesempatan untuk menemukan dan merekonstruksi konsep-konsep matematika. Pemecahan masalah sebagai tujuan berkaitan dengan pertanyaan mengapa matematika diajarkan dan apa tujuan pengajaran matematika. Pemecahan masalah sebagai proses adalah suatu kegiatan yang lebih mengutamakan pentingnya prosedur langkah-langkah, strategi/cara yang dilakukan siswa untuk menyelesaikan masalah sehingga menemukan jawaban.Walaupun ketiga interpretasi pemecahan masalah tersebut berbeda, namun dalam praktek ketiganya saling melengkapi (Suharta, 2002: 1).
Menurut Polya (1957), ada empat langkah dalam pemecahan masalah, yaitu memahami masalah, merencanakan penyelesaian, menyelesaikan masa-lah sesuai rencana, dan melakukan pengecekan kembali terhadap semua lang-kah yang telah dikerjakan. Pada pelaksanaan keempat langkah tersebut, tugas utama guru adalah membantu dan memfasilitasi siswa untuk dapat mengoptimalkan kemampuannya mencapai terselesaikannya masalah yang dihadapi secara logis, terstruktur, cermat, dan tepat.
Pada pelajaran matematika untuk memudahkan dalam pemilihan soal perlu dilakukan pembedaan antara soal rutin dan soal tidak rutin.

2.2 Masalah Penemuan Dan Pembuktian
Penalaran dalam matematika sulit dipisahkan dari kaidah-kaidah logika. Penalaran-penalaran yang demikian dalam matematika dikenal dengan istilah penalaran deduktif. Menurut kaidah bahasa Indonesia, penalaran deduktif berarti penalaran yang bersifat deduksi, yaitu penalaran atas dasar hal-hal yang bersifat umum kemudian diturunkan ke hal-hal yang khusus. Sedangkan penalaran induktif, secara bahasa berarti penalaran yang bersifat induksi, yaitu penalaran atas dasar dari hal-hal yang bersifat khusus, kemudian disimpulkan menjadi yang bersifat umum. Tercatat beberapa penjelasan tentang deduksi dalam matematika, di antaranya:
1) Proses penalaran dari prinsip umum diturunkan ke kesimpulan fakta khusus
2) Proses penalaran yang konklusinya diturunkan secara mutlak dari premis-premisnya
3) Suatu argument adalah valid deduktif jika dan hanya jika bahwa tidak mungkin konklusi salah padahal premisnya benar.
Pembuktian yang menggunakan penalaran deduktif biasanya menggunakan kalimat implikatif yang berupa pernyataan jika …, maka …. Kemudian, dikembangkan dengan menggunakan pola pikir yang disebut silogisme, yaitu sebuah argumen yang terdiri atas tiga bagian. Di dalamnya terdapat dua pernyataan yang benar (premis) yang menjadi dasar dari argument itu, dan sebuah kesimpulan (konklusi) dari argument tersebut. Di dalam logika, sebagai cabang (inti) matematika yang banyak membahas tentang silogisme terdapat beberapa aturan yang menyatakan apakah silogisme itu valid (sahih) atau tidak.
1) Premis Mayor – Premis pertama haruslah memiliki satu hal yang berhubungan dengan premis yang kedua
2) Premis Minor – Premis kedua haruslah memiliki satu hal yang berhubungan dengan premis pertama
3) Konklusi – Kesimpulannya haruslah memiliki satu hal yang berhubungan dengan kedua premis tersebut.
Sebagaimana disebutkan pada bagian terdahulu bahwa cara penalaran dengan deduktif di antaranya dapat dilakukan secara aturan inferensi, bukti langsung, bukti tidak langsung, dan induksi matematika. Berikut beberapa contoh sederhana tentang beberapa aturan dalam penalaran deduktif.
1. Bukti Langsung
Termasuk dalam bukti langsung ini di antaranya aturan penarikan kesimpulan modus ponens, inferensi deduksi, dan implikasi transitif.
1). Pembuktian dengan Aturan Modus Ponen (modus ponendo ponens)
Aturan dasarnya: “bila p menyebabkan q, ternyata p benar, maka q benar”
Premis (1) : p q
Premis (2) : p
Konklusi : q
atau ditulis (p q) q  q

Contoh 2.1
Buktikan bahwa siskriminan persamaan kuadrat lebih besar dari nol mempunyai akar real berbeda.
Bukti
Diskriminan dari x2 – 5x + 1 = 0 adalah 21.
x2 – 5x + 1 = 0 mempunyai dua akar real berbeda.
2). Pembuktian dengan Implikasi Transitif
Aturan dasarnya:
Premis (1) : p q
Premis (2) : q  r
Konklusi : p  r
atau ditulis (p q)  (q  r)  (p  r)
Contoh 2.2
Buktikan bahwa dalam himpunan bilangan cacah, kuadrat bilangan ganjil adalah bilangan ganjil
Bukti
Dalam bentuk simbol logika dapat ditulis sebagai berikut.
m  bilangan cacah, ( m) (m bilangan ganjil  m2 bilangan ganjil)
Premis (1) : m bil. ganjil  ada n bil. cacah sehingga m = 2n+1
Premis (2) : m = 2n + 1  m2 = (2n + 1)2
= 4n2 + 4n + 1
= 2(2n2 + 2n) + 1
= 2p + 1 adalah bilangan ganjil
Kesimpulan : Jadi, m bilangan ganjil  m2 bilangan ganjil
2. Kontrapositif
Terkadang kita sulit membuktikan p q secara langsung. Bila demikian keadaanya, kita dapat membuktikan kontrapositifnya, yaitu membuktikan kebenaran q p. Sebab, dalam ilmu logika diketahui bahwa pernyataan p q dan q p adalah ekuivalen. Dikatakan, (p q) ↔ (q p) merupakan tautologi
Contoh 2.3
Buktikan bahwa semua bilangan ganjil tidak habis dibagi dua
Bukti
Gunakan kontrapositifnya, yaitu untuk membuktikan p q cukup dibuktikan q p.
Misalkan p : bilangan ganjil dan q : tidak habis dibagi dua, maka p : bilangan genap dan q : habis dibagi dua.
Akan dibuktikan jika a habis dibagi dua, maka a bilangan genap
Jika a adalah bilangan yang habis dibagi dua, maka ditulis a = 2n; untuk n bilangan bulat. Padahal a = 2n tidak lain sebagai pernyataan dari bilangan genap. Jadi, terbukti jika a habis dibagi dua, maka a bilangan genap.
Dengan kata lain, semua bilangan ganjil tidak habis dibagi dua
3. Bukti Tidak Langsung
Pembuktian argumen dengan cara ini dilakukan dengan jalan membentuk negasi dari konklusinya, yang kemudian dijadikan premis tambahan. Jika akibat langkah ini muncul kontradiksi, maka argumen yang dibuktikan adalah valid. Strateginya dimulai dengan memandang negasi dari proposisinya terbukti. Misalnya, kita ingin membuktikan proposisi p. Kita pandang negasinya, yaitu p. Kita buktikan bahwa p terjadi kontradiksi, misalnya q dan q (tidak mungkin dua sekaligus, sehingga pasti salah). Dari kontrapositif kondisi itu, kita telah membuktikan negasi dari negasi proposisi. Dengan demikian, kita menunjukkan bahwa (q  q)   (p), sehingga (p) = p. Pembuktian tak langsung, dikenal pula dengan pembuktian kontradiksi atau reduction ad absurdum. Pembuktian dengan cara tidak langsung memang rumit, tetapi hal ini dilakukan manakala kita dihadapkan pada masalah pembuktian yang sulit diambil penalarannya secara langsung.
Contoh 2.4
Buktikan bila matriks bujursangkar mempunyai invers, maka inversnya itu tunggal.
Bukti (tidak langsung)
P : matriks bujursangkar yang mempunyai invers
q : invers matris bujursangkar itu tunggal
sehingga q : invers matriks bujursangkar itu tidak tunggal
Andaikan invers matriks bujursangkar itu tidak tunggal misalnya ada dua, yaitu L1 dan L2, dengan L1  L2 .
Misalkan matriks bujursangkar itu M yang mempunyai invers L1 dan L2 dengan L1  L2 ,
maka M L1 = L1M = I (identitas) , begitu pula M L2= L2M = I(identitas)
Padahal, L1 = L1I = L1(M L2)= (L1M) L2 = I L2 = L2
Jadi, L1 ¬harus sama dengan L2 yang berarti bertentangan (kontradiksi) dengan pengandaian bahwa L1  L2 .
4. Induksi Matematika
Pembuktian cara induksi matematika merupakan pembuktian deduktif, meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli.. Pembuktian cara induksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar untuk semua bilangan asli atau semua bilangan dalam himpunan bagiannya. Caranya ialah dengan menunjukkan bahwa sifat itu benar untuk n = 1 (atau S(1) adalah benar), kemudian ditunjukkan bahwa bila sifat itu benar untuk n = k (bila S(k) benar) menyebabkan sifat itu benar untuk n = k +1 (atau S(k+1) benar).
Contoh 2.5
Buktikan bahwa 1 + 2 + 3 + … + n =
Bukti
Harus dibuktikan S(n) = 1 + 2 + 3 + … + n = .
(1) untuk n = 1, benar bahwa S(1) =
(2) Andaikan benar untuk n = k, yaitu
S(k) = 1 + 2 + 3 + … + k = , maka akan dibuktikan benar pula untuk n = k+1, yaitu S(k+1) = 1+ 2 + 3 + … + k + (k+1) = .
Sehingga 1 + 2 + 3 + … + k + (k +1) = + (k +1) = (k+1)
= (terbukti benar)
Jadi, S(n) benar untuk semua bilangan asli.

2.3 Mengepa Kita Perlu Membuktikan
Dalam artikel making mathematics yang berjudul Proof, dapat diakses pada http:/www2.edc.org/makingmath, dijelaskan secara rinci mengenai bukti dalam matematika yang meliputi what is proof, why do we prove, what do we prove, dan how do we prove. Menurut artikel tersebut, paling tidak terdapat enam motivasi mengapa orang membuktikan, yaitu to establish a fact with certainty, to gain understanding, to communicate an idea to others, for the challenge, to create something beautiful, to construct a large mathematical theory. To establish a fact with certainty merupakan motivasi paling dasar mengapa orang perlu membuktikan suatu pernyataan matematika, yaitu untuk meyakinkan bahwa apa yang selama ini dianggap benar adalah memang benar. Tidak dapat dipungkiri selama ini banyak kebenaran fakta di dalam matematika hanya dipercaya begitu saja tanpa adanya kecurigaan terhadap kebenaran tersebut, tidak berusaha membuktikan sendiri, termasuk fakta-fakta yang sangat sederhana.
Kita hanya menggunakan fakta tersebut karena sudah ada dalam buku (it was in the text), atau karena sudah pernah disampaikan oleh guru kita. Memang tidak semua fakta matematika yang dipelajari harus dipahami buktinya. Faktor kepadatan materi dan keterbatasan waktu masih merupakan kendala klasik yang dihadapi oleh pengampu matematika. Namun beberapa fakta sederhana pun sering diabaikan pembuktiannya. Suatu ilustrasi ketika kita mengajar tentang himpunan bilangan real kita pasti menyampaikan bahwa himpunan bilangan real yang disimbolkan dengan R terpecah menjadi dua himpunan bagian yang saling asing, yaitu himpunan bilangan rasional Q dan himpunan bilangan irrasional R n Q. Sangat mudah dipahami untuk definisi bilangan rasional, tetapi tidak begitu jelas pada definisi bilangan irrasional. Bilangan irrasional hanya didefinisikan sebagai bilangan real yang bukan rasional. Pertanyaannya, pernahkah kita membuktikan bahwa p2, ¼ dan e merupakan bilangan irrasional ? Bila bilangan irrasional dapat dicirikan oleh tidak berulangnya angka-angka desimalnya maka bukti ini bersifat temporer. Misalkan seorang siswa dapat menunjukkan bahwa 100 digit angka pada bentuk desimal bilangan ¼ tidak berulang maka siswa tersebut menyimpulkan bahwa ¼ irrasional. Tapi begitu ada siswa lain yang dapat menunjukkan terdapatnya pola pengulangan, misalnya mulai dari digit ke- 150 maka klaim siswa pertama tadi gugur dan harus disimpulkan bahwa ¼ 3 rasional.
Kesimpulan siswa pertama di atas didasarkan pada intuisi bukan didasarkan pada metoda pembuktian yang sahih. Banyak pembuktian yang tidak hanya membuktikan suatu fakta tetapi juga memberikan penjelasan tentang fakta tersebut. Disinilah, pembuktian teorema berfungsi untuk mendapatkan pemahaman (to gain understanding). Seorang pemenang medali ”field”, Pierre Deligne meyatakan bahwa ”I would be grateful if anyone who has understood this demonstration would explain it to me.” Pernyataan ini mengandung makna bahwa bilamana seseorang dapat menjelaskan kembali apa yang sudah dijabarkan oleh Pierre Deligne maka dapat dipastikan bahwa orang tersebut telah memahaminya, mungkin saja penjelasan yang telah disajikan oleh Pierre ada bagian-bagian yang belum jelas. Terkadang, beberapa orang mempunyai pendirian sangat kuat bahwa suatu konjektur adalah benar. Keyakinan ini mungkin berasal dari penjelasan informal atau dari beberapa kasus yang ditemuinya. Bagi mereka tidak ada keraguan terhadap keyakinan itu, tapi belum tentu berlaku untuk orang dari kelompok lain.
Disinilah bukti dapat dijadikan sarana untuk meyakinkan orang lain akan kebenaran suatu idea. Akan tetapi untuk menyusun bukti formal terhadap kebenaran suatu fakta tidaklah mudah. Mengikuti bukti yang sudah ditemukan dan disusun orang lain saja tidak mudah apalagi menyusun sendiri. Membuktikan merupakan tantangan sendiri para matematikawan, membuat penasaran dan begitu terselesaikan maka diperoleh kepuasan intelektual. Ibarat seni, matematika itu indah. Ini paling tidak pendapat para matematika. Bagi orang awam keindahan matematika terlihat dari pola dan struktur objek matematika, seperti bilangan, bangun geometri, simulasi matematika pada komputer. Namun bagi mereka yang sudah mencapai begawan matematika, keindahan sesungguhnya dari matematika (the real beauty of mathematics) terletak pada pola penalaran yang berupa interkoneksi argumen-argumen logis. Ini tercermin pada pembuktian teorema. Keberhasilan memformulasikan satu konjektur, kemudian dapat membuktikannya maka satu masalah dalam matematika terselesaikan.

BAB III
PENUTUP

3.1 Kesimpulan
Pemecahan masalah merupakan bagian dari kurikulum matematika yang sangat penting karena dalam proses pembelajaran maupun penyelesaiannya, siswa dimungkinkan memperoleh pengalaman menggunakan pengetahuan serta keterampilan yang sudah dimiliki untuk diterapkan pada pemecahan masalah yang bersifat tidak rutin. Melalui kegiatan ini aspek-aspek kemam-puan matematika yang penting seperti penerapan aturan pada masalah tidak rutin, penemuan pola, penggeneralisasian, komunikasi matematika dan lain-lain dapat dikembangkan secara lebih baik.
Pembuktian yang menggunakan penalaran deduktif biasanya menggunakan kalimat implikatif yang berupa pernyataan jika …, maka …. Kemudian, dikembangkan dengan menggunakan pola pikir yang disebut silogisme, yaitu sebuah argumen yang terdiri atas tiga bagian. Di dalamnya terdapat dua pernyataan yang benar (premis) yang menjadi dasar dari argument itu, dan sebuah kesimpulan (konklusi) dari argument tersebut. Di dalam logika, sebagai cabang (inti) matematika yang banyak membahas tentang silogisme terdapat beberapa aturan yang menyatakan apakah silogisme itu valid (sahih) atau tidak.
Sebagaimana disebutkan pada bagian terdahulu bahwa cara penalaran dengan deduktif di antaranya dapat dilakukan secara aturan inferensi, bukti langsung, bukti tidak langsung, dan induksi matematika.
3.2 Saran
Belajar matematika dengan cara memahami bukti tidaklah mudah. Dibutuhkan waktu untuk memahami matematika sebagai bahasa logika. Juga, dibutuhkan wawasan matematika yang luas untuk belajar membuktikan fakta-fakta yang lebih rumit. Di dalam bukti termuat nilai-nilai strategis yang dapat melatih kita berpikir secara logis. Keindahan matematika juga banyak terdapat pada harmonisasi penalaran-penalaran dalam bukti. Dengan memahami bukti kita dapat mengikuti alur berpikir para ahli yang pertama kali menemukannya, yang berdampak pada kekaguman terhadap para inventor matematika dan pada akhirnya menyenangi matematika itu sendiri. Berlatih memahami bukti merupakan modal utama untuk dapat melakukan riset matematika.

DAFTAR PUSTAKA

Nahrowi, Adjie. (2006). Pemecahan Masalah Matematika. Bandung : UPI PRESS
Setyadi, challis. (2009). Rumus Dasyat Matematika. Yogyakarta : Cermelang Publishing

About these ads

Berikan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s