makalah matematika: “masalah rutin dan non rutin”


BAB I
PENDAHULUAN

A. latarbelakang Masalah
Sesuai dengan perkembangan zaman yang semakin kompleks dan banyak macamnya, maka masalah-masalah itupun muncul dan semakin kompleks. Perkembangan zaman tersebut menuntut kita untuk berkompetensi dan dalam memenuhi segala kebutuhan hidup. Hanya orang-orang yang tangguh, disiplin, dan tekunlah yang dapat bersaing dalam kehidupan yang sedemikian.
Ilmu matematika memberi sumbangan yang cukup besar dalam membentuk manusia unggul, karena salah satu kriteria manusia unggul adalah manusia yang dapat menggunakan nalarnya untuk kemajuan umatnya. Kita yakin bahwa sebaik-baiknya manusia adalah yang mampu membawa manfaat bagi manusia lainnya untuk kehidupan selanjutnya.
Tidak dapat dipungkiri lagi bahwa kemajuan teknologi sekarang ini, yang merubah dunia semakin canggih dan praktis dalam segala kehidupan adalah sumbangan ilmu matematika.
Dalam menghadapi kehidupan ini kita sering dihadapkan kepada suatu permasalahan, sehingga kita dituntut untuk menyelesaikannya. Untuk itu regenerasi penerus kita harus dapat menyelesaikannya sebagai bekal dalam kehidupan dimasa yang akan datang.
Untuk keterampilan dalam menyelesaikan masalah dibutuhkan berbagai kemampuan yang ada pada diri kita, sebagai hasil dari belajar, yaitu sebagai dari pengetahuan, sikap dan psikomotor. Berbagai pengetahuan dimaksud adalah: ingatan, pemahaman, penerapan, analisis, sintesis, dan evaluasi. Dengan demikian tidaklah mudah menyelesaikan suatu masalah, karena melibatkan berbagai kemampuan nalar atau berfikir kita dari tingkat rendah sampai tingkat tinggi. Tingkat rendah adalah ingatan, pemahaman dan penerapan, sedangkan tingkat tinggi adalah analisis, sintesis, dan evaluasi.
Dalam memahami masalah matematika, biasanya kita bertanya kepada diri kita sendiri dengan sejumlah pertanyaan yang membantu kita untuk dapat menyeleksi informasi yang ada.
B. Rumusan Masalah
Berpijak dari latar belakang diatas, maka yang akan menjadi rumusan masalah pada penulisan makalah ini adalah sebagai berikut: Bagaimana cara menyelesaiakan pememecahan masalah non rutin dan rutin?
C. Tujuan
Tujuan dari pembuatan makalah ini adalah Untuk Memenuhi salah Satu Tugas Mata Kuliah Pemecahan Masalah Matematika di SD serta wawasan dan ilmu kami tentang pemecahan masalah yang rutin dan non rutin.
D. Metode dan Prosedur
Metode yang digunakan penulis dalam penyusunan makalah ini yaitu dengn mengumpulkan informasi dari berbagai buku dan browsing di internet.
E. Sistematika Penulisan
Makalah ini disusun dengan menggunakan kaidah penulisan makalah secara umum yaitu :
KATA PENGANTAR
DAFTAR ISI
BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah
B. Rumusan Masalah
C. Tujuan
D. Metode
E. Sistematika Penulisan
BAB II PEMBAHASAN
A. pengertian masalah rutin
B. Pengertian masalah non rutin
C. Hasil observasi yang dilaksanakan di SD tentang masalah rutin dan nonrutin.
D. Pengartian Evaluasi
BABA III PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
DAFTAR PUSTAKA

BAB II
PEMBAHASAN

A. Pengertian Masalah Rutin
Masalah dalam matematika sering disebut juga soal-soal yang harus di jawab dan dipecahkan oleh siswa, dalam permasalahan matematika beberapa bentuk diantaranya soal rutin dengan soal non rutin.
Disini permasalahan rutin yaitu permasalahan yang sering muncul dalam pembelajaran matematika dalam kurikulum permasalahan tersebut mudah dipelajari dan di pecahkan oleh siswa karena permasalajhan sering munculdan mudah sehingga hanya dalam hafalan saja sudah bisa menjawab.
Terdapat kelebihan dan kelemahan dalam permasalahan, kelebihan diantaranya yaitu: 1) siswa dengan mudah mengerjakan soal karena sudah tersimpan dalam ingatan kognitif siswa, 2) siswa tidak measa kesulitan dalam menjawab permasalahan karena sering sekali muncul dalam pembelajaran, 3) dalam menyelesaian soal siswa tidak memerlukan proses yang panjang.
Sedangkan adapun kelemahan yang akan di dapai yaiu diantaranya: 1) siswahanya bisa menjawab soal tebakkan karena sudah terbiasa tdak menggunakan penalaran, 2) nalar berrfikir siswa terbatas sulit untuk bisa berkembang, 3) kematangan memecahkan masalah masih kompleks.

B. Pengertian masalah non rutin
Disamping permasalahan rutin yang sering dimunculkan dalam pemecahan masalah matematika, ada juga permasalahan non rutin dalam arti soal yang tidak sering dimunculkan dalam soal-soal matematika.
Soal nonrutin ini sangat efisien untuk sellu diterapkan dalam pembelajaran matematika untuk melatih daya nalar dan berfikir kritis siwa dalam memecahkan masalah, khususnya untuk memecahkan masalah non rutin.
Tidak hanya soal rutin yang mempunyai kekurangan dan kelemahan, dalam permasalahan non rutin juga pasti mengalami hal yang serupa. Dalam hal ini kelemahannya antara lain: 1) siswa akan merasa kesulitan dalam memecahkan masalah sehingga butuh proses yang benar-benar srius untuk mengajarkan pemecahan masalah non rutin. 2) butuh kekreatifan yang imiliki oleh siswa untuk dapat memecahkan masalah non rutin. 3) siswa sering kebingungan dalam menghadapi soal non rutin.
Sedangkan kelebihan yang diraih dalam permasalahan non rutin ini ialah: 1) siswa akan terlatihdalam menghaadapi masalah non rutin. 2) daya nalar siswa akan bertambah karena sering menghadapi permasalahan non rutin. 3) siswaakan teratih dalam memecahkan masalah.

C. Hasil observasi yang dilaksanakan di SD tentang masalah rutin dan nonrutin.
Dalam kahidupan sehari-hari kita sering dihadapkan kepada masalah-masalah, yang menuntut kita untuk menyelisesaikannya. Kata “masalah” mengandung arti yang konprehensif. Oleh karnanya akan terjadi perbedaan sikap terhadap suatu kejadian atau kondisi tertentu. Dengan demikian akan terjadi perbedaan penyikapan terhadap suatu masalah tertentu, misalnya suatu akan menjadi masalah bagi anak-anak, tetapi belum tentu menjadi masalah bagiorang dewasa.
Dapat di ulustrasikan , pada waktu bulan puasa Ani sudah tertidur pada pukul 22.00, dengan harapan tidak akan kesiangan waktu sahur. Pada pukul 24.00 listrik dirumah Ani padam, dan Ani tetap tidur pulas sehingga Ani tidak mengetahui terjadinya padam listrik yang membuat rumahnya gelap-gulita.
Pada pukul 01.00 Ani terbangun dan melihatnya atau merasakan bahwa listrik dirumahnya masih tetap padam, lantas Ani melihat jam dan memutuska untuk mengecek rumahnya yang padam.
Lain halnya dengan adiknya Ani, begitu terbangun dan melihatr listriknya mat, lantas menyuruh bapaknya memperbaikinya, karena adiknya Ani tidak bisa tidur kalau ruangan gelap.
Bapak Ani memperbaiki listrik yang padam dengan melihat dulu rumah tetangganya apakah listriknya mati atau tidak. Ternyata listrik dirumah tetangga tidak mati. Bapak Ani lantas memeriksa saklar di meteran ternya dalam keadaan of , lantas saklar dinaikkan menjadi on, tetapi saklar tidak mau on dan listri tetap mati. Bapak Ani memutuskan untuk menggunakan lampu minyak saja, karena tidak sanggup memperbaikinya.
Lain halnya dengan tetangga Ani, jika mengalami hal demikian maka tetangga Ani itu mencobanya untuk memperbaiki sendiri tanpa bantuan orang lain, dengan cara mencoba-coba berbagai cara kemungkinan yang terjadi. Misalnya mengecek kabel-kabel yang dimungkinkan adanya konsleting.
Pagi harinya Babaknya Ani menghubungi kakanya Ani dan memintanya untuk memperbaiki kabel listrik yang kongsleting. Karena kakaknya Ani adalah sarjana elektro, maka mudah mudah saja iya menemukan penyabab terjadi kabel penyambung arus pendek, yaitudenhan alat-alat yang dimilikinya.
Dari ilustrasi tersebut, memberikan bagaimana gambaran seseorang menyikapi suatu masalah atau tidak punya sikap sama sekali. Biasanya masalh muncul pada saat atau situasi yang tidak diharapkan atau muncul karena akibat-akibat kita melakukan suatu pekerjaan, atau jika merencanakan suatu kagiatan kita akan menemukan berbagai permasalahan yang muncul. Munculnya permasalahan tersebut dapat dikatakan atau dijadikan sebagai masalah jika kita mau menerimanya sebagai tantangan berarti masalah tersebut menjadi bukan masalah yang terselesaikan.

D. Pengartian Evaluasi
Evaluasi merupakan suatu proses yang melibatkan pengukuran, dan pengukuran dilakukan melalui testing dan bahwa pengukuran melengkapi untuk dapat terjadinya evaluasi atau penilaian. Pengukuran tidak merupakan keputusan dan bahkan penilaian.
Pengukuran atau measurement, berwujud kuantifikasi , yang memperkirakan tingkat akurasi untuk berbagai penggunaan, yang merujuk kepada tingkat pengukuran, yang secara umum disebut skala. Terdapat empat skala dalam pengukuran, yaitu nominal, ordinal, interval dan ratio.
Mengingat pentingnya penilaian dalam kegiatan dalam pengajaran di sekolah, pengetahuan keterampilan untuk melakukan penilaian sudah seharusnya dimiliki oleh para guru. Ini merupakan salah satu kompetensi yang dimiliki oleh guru. Kompetensi yang dalam bidang penilaian ini sekurang-kurangnya mencakup kemampuan untuk mengambangkan instrumen penelitian, khususnya mengadministrasikan tes atau instrumen yang lainnya dan mengolah serta menafsirkan data hasil belajar.

E. Rencana Pelaksaan Pembelajaran (RPP)

Rencana pelaksanaan pembelajaran
(RPP)

Jenjang pendidikan : Sekolah Dasar
Mata pelajaran : Matematika
Pokok bahasan : Pemecahan masalah panjang, berat dan waktu
Sub pokok bahasan : Soal cerita berkaitan dengan waktu
Kelas/semester : IV/I
Alokasi waktu : 1X35 menit

I. Standar kompetensi
Menentukan hubungan antar satuan waktu, antar satuan panjang, dan antar satuan berat.

II. Kompetensi dasar
Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan satuan waktu, panjang,dan berat

III. Indicator
Siswa mampu menyelisaikansoal dengan benar

IV. Tujuan
• Siswa mampu menelaah soalcerita yang berkaitan dengan satuan waktu
• Siswa dapat menyelesaikan soal-soal dengan langkah-langkah yang benar

V. Kegiatan belajar mengajar (KBM)
1. Kegiatan awal (5 menit)
• Mengucapkan salam
• Membaca do’a
• Mengabsen siswa
• Apersepsi
2. Kegiatan inti (25 menit)
• Guru menjelaskan pengertian waktu
• Guru melakukan Tanya jawab dengan siswa tentang waktu
• Guru memberikan soal ceritayang berkaitan dengan satuan waktu dan guru menjelaskan soal cerita temtang satuan waktu
• Guru memberikan contoh bagaimana cara menyelesaikan soal cerita dengan sistematis
• Guru melakukan tanya jawab dengan siswa mengenai soal cerita
• Guru membagi siswa kedalam 4 kelompok
• Guru membagikan soal cerita yang harus dikerjakan oleh masing-masing kelompok
• Salah satu perwakilan masing-masing kelompok untuk menyelesaikan soal cerita di papan tulis
• Guru bersama siswa mengevaluasi hasil masing-masing kelompok
• Guru bersama siswa menyimpulkan pembelajaran

3. Kegiatan akhir (5 menit)
• Guru memberikan tindak lanjut berupa pekerjaan rumah (PR)
• Guru menutup pembelajaran
• Guru meminta ketua kelas untuk memimpin do’a
• Guru mengucapkan salam

VI. Pendekatan, metode, media dan sumber
Pendekatan : pemecahan masalah
Metode :Tanya jawab dan diskusi
Media :
Sumber : buku pelajaran matematika kelas 4 sekolah dasar
KTSP

VII. Evaluasi
Alat tes : LKS
Bentuk tes :tes tulisan
Prosedur tes :tes akhir dan proses

Penilaian

NO NAMA ASPEK YANG DINIALAI
KEAKTIPAN KEKOMPAKAN KELOMPOK HASIL

BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Masalah dalam matematika sering disebut juga soal-soal yang harus di jawab dan dipecahkan oleh siswa, dalam permasalahan matematika beberapa bentuk diantaranya soal rutin dengan soal non rutin.
Disamping permasalahan rutin yang sering dimunculkan dalam pemecahan masalah matematika, ada juga permasalahan non rutin dalam arti soal yang tidak sering dimunculkan dalam soal-soal matematika.
Dalam kahidupan sehari-hari kita sering dihadapkan kepada masalah-masalah, yang menuntut kita untuk menyelisesaikannya. Kata “masalah” mengandung arti yang konprehensif.
Evaluasi merupakan suatu proses yang melibatkan pengukuran, dan pengukuran dilakukan melalui testing dan bahwa pengukuran melengkapi untuk dapat terjadinya evaluasi atau penilaian. Pengukuran tidak merupakan keputusan dan bahkan penilaian.

B. Saran
Semoga makalah yang telah kami buat dapat bermanfaat bagi pembaca dan khususnya kami sebagai penyusun. Dan diharapkan pembaca dapat menganalisis lebih jelas lagi mengenai pemecahan masalah rutin dan non rutin dengan cara mencari leteratur-literatur lain yang dapat menambah wawasan pembaca dalam menganalisis materi tersebut.

makalah matematika: “langkah-langkah pemecahan masalah”


BAB I
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah
Matematika sebagai ilmu pengetahuan dengan penalaran deduktifmengandalkan logikadalam meyakinkan akan kebenaran suatu pernyataan. Faktor intuisi dan pola berpikirinduktif banyak berperan pada proses awal dalam merumuskan suatu konjektur (conjecture)yaitu dugaan awal dalam matematika. Proses penemuan dalam matematika dimulai dengan pencarian pola dan struktur, contoh kasus dan objek matematika lainnya.Selanjutnya, semua informasi dan fakta yang terkumpul secara individual inidibangun suatu koherensi untuk kemudian disusun suatu konjektur. Setelah konjekturdapat dibuktikan kebenarannya atau ketidakbenaranya maka selanjutnya ia menjadi suatu teorema. Pernyataan pernyataan matematika seperti definisi, teorema dan pernyataan lainnya.
pada umumnya berbentuk kalimat logika, dapat berupa implikasi, biimplikasi, negasi, atau berupa kalimat berkuantor. Operator logika seperti and, or, not, xor juga sering termuat dalam suatu pernyataan matematika. Jadi membuktikan kebenaran suatu teorema tidak lain adalah membuktikan kebenaran suatu kalimat logika. Materi logika sudah diberikan sejak di bangku SLTA. Namun selama ini, sebagian siswa atau guru masih menganggap logika sebagai materi hapalan, khususnya menghapal tabel kebenaran. Belum tahu mengapa dan untuk apa logika dipelajari.Tanpa menguasai logika maka sulit untuk terbentuknya apa yang disebut dengan logicallythinking. Apa yang terbentuk pada siswa, mahasiswa, guru atau bahkan dosen selama ini lebih dominan pada algorithm thinking atau berpikir secara algoritma.
.Pada tahap awal, pekerjaan memahami bukti bukanlah sesuatu yang menarik karena kita lebih banyak bergelut dengan simbol dan pernyataan logika ketimbangberhadapan dengan angka-angka yang biasanya dianggap sebagai karakter matematika.Kenyataan inilah menjadikan salah satu alasan orang malas untuk memahami buktidalam matematika. Alasan lainnya adalah pekerjaan membuktikan lebih sulit dan tidakpenting. Padahal banyak manfaat yang dapat diperoleh pada pengalaman membuktikanini, salah satunya adalah melatih logically thinking dalam belajar matematika.

1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang tersebut, maka diperoleh permasalahan antara lain:
Bagaimana masalah penemuan dan pembuktian dalam matematika ?
1.3 Tujuan
Tujuan pembuatan makalah ini adalah untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Pemecahan masalah dalam matematika di SD serta untuk wawasan dan ilmu kami tentang masalah penemuan dan pembuktian.
1.4. Metode dan Prosedur
Metode yang digunakan penulis dalam penyusunan makalah ini yaitu dengan mengumpulkan informasi dari berbagai sumber buku dan browsing di internet.

BAB II
PEMBAHASAN

2.1. Pemecahan Masalah Matematika
Masalah adalah sebuah kata yang sering terdengan oleh kita.Namun sesuatu menjadi masalah tergantung bagaimana seseorang mendapatkan masalah tersebut sesuai kemampuannya.Terkadang dalam pendidikan matematika SD ada masalah bagi kelas rendah namun bukan masalah bagi kelas tinggi.Masalah merupakan suatu konflik,hambatan bagi siswa dalam menyelesaikan tugas belajaraannya di kelas.Namun masalah harus diselesaikan agar proses berpikir siswa terus berkembang.Semakin banyak siswa dapat menyelesaikan setiap permasalahan matematika,maka siswa akan kaya akan variasi dalam menyelesaikan soal-soal matematika dalam bentuk apapun Bentuk soal matematika dalam SD berbentuk rutin atau pun tidak rutin.Contoh 3×3=9 merupakan soal rutin bagi siswa SD kelas 2 karena siswa tidak berpikir tinggi dalam menyelesaikan soal tersebut.Jika kelas 2 diberikan soal 33×33=….mungkin menjadi suatu masalah bagi siswa SD,inilah suatu bentuk soal yang tidak rutin.Sehingga kita bisa memberikan pemisahan bahwa soal yang tidak rutin merupakan masalah bagi siswa. Jenis masalah dalam pembelajaran SD ada 4 yaitu: 1. Masalah Translasi adalah masalah yang berhubungan aktivitas sehari-hari siswa.contoh: Ade membeli permen Sugus 12 buah.Bagaimana cara Ade membagikan kepada 24 orang temannya agar semua kebagian dengan adil? 2. Masalah Aplikasi adalah masalah yang menerapkan suatu konsep,rumus matematika dalam sebuah soal-soal matematika.Contoh suatu kolam berbentuk persegipanjang yang berukuran panjang 20 meter dan lebar 10 meter.Berapa luas kolam tersebut? 3. Masalah Proses/Pola adalah masalah yang memiliki pola, keteraturan dalam penyelesainnya.Contoh: 2 4 6 8 … Berapa angka berikutnya? 4.Masalah Teka-teki adalah masalah yang sifat menerka atau dapat berupa permainan namun tetap mengacu pada konsep dalam matematika.contoh:Aku adalah anggota bilangan Asli,aku adalah bilangan perkasa,jika kelipatannku dijumlahkan angka-angkanya hasilnya adalah aku,siapakah aku?
Pemecahan masalah memerlukan strategi dalam menyelesaikannya. Kebenaran,ketepatan,keuletan dan kecepatan adalah suatu hal yang diperlukan dalam penyelesaian masalah.
Keterampilan siswa dalam menyusun suatu strategi adalah suatu kemampuan yang harus dilihat oleh guru.Jawaban benar bukan standar ukur mutlak,namun proses yang lebih penting darimana siswa dapat mendapatkan jawaban tersebut.Variasi strategi yang diharapkan muncul dalam pembelajaran siswa SD.

2.2 Metode Pemecahan Masalah
Metode pemecahan masalah “HOW TO SOLVE IT” Reportase langsung dari buku karya G. Polya Sebuah kerangka kerja untuk memecahkan masalah telah di jelaskan G. Polya dalam sebuah buku “How to Solve IT!” (Edisi ke 2, Princeton University Press). Walaupun Polya berfokus pada teknik pemecahan masalah dalam bidang matematika tetapi prinsip-prinsip yang dikemukakannya dapat digunakan pada masalah-masalah umum. Penalaran Induktif merupakan dasar dari proses yang paling kreatif yang terjadi di “dunia nyata”. Fisika membutuhkan laboratorium yang ideal untuk membangun kemampuan dalam penalaran induktif dan menemukan hal-hal baru. Berikut ini gambaran umum dari Kerangka kerja Polya:
1. Pemahaman pada masalah ( Identifikasi dari tujuan ) Langkah pertama adalah membaca soalnya dan meyakinkan diri bahwa anda memahaminya secara benar. Tanyalah diri anda dengan pertanayan :
• Apa yang tidak diketahui?
• Kuantitas apa yang diberikan pada soal?
• Kondisinya bagaimana?
• Apakah ada kekecualian?
Untuk beberapa masalah akan sangat berguna untuk
• membuat diagranmnya
dan mengidentifikasi kuantitas-kuantitas yang diketahui dan dibutuhkan pada diagram tersebut. Biasanya dibutuhkan
• membuat beberapa notasi ( x, a, b, c, V=volume, m=massa dsb ).

2. Membuat Rencana Pemecahan Masalah
Carilah hubungan antara informasi yang diberikan dengan yang tidak diketahui yang memungkinkan anda untuk memhghitung variabel yang tidak diketahui. Akan sangat berguna untuk membuat pertanyaan : “Bagaimana saya akan menghubungkan hal yang diketahui untuk mencari hal yang tidak diketahui? “. Jika anda tak melihat hubungan secara langsung, gagasan berikut ini mungkin akan menolong
dalam membagi maslah ke sub masalah
• Membuat sub masalah Pada masalah yang komplek, akan sangat berguna untuk membantu jika anda membaginya kedalam beberapa sub masalah,
sehingga anda dapat membangunya untuk menyelesaikan masalah.
• Cobalah untuk mengenali sesuatu yang sudah dikenali. Hubungkan masalah tersebut dengan hal yang sebelumnya sudah dikenali. Lihatlah pada hal yang tidak diketahui dan cobalah untuk mengingat
masalah yang mirip atau memiliki prinsip yang sama.
• Cobalah untuk mengenali polanya. Beberapa masalah dapat dipecahkan dengan cara mengenali polanya. Pola tersebut dapat berupa pola geometri atau pola aljabar.
Jika anda melihat keteraturan atau pengulangan dalam soal, anda dapat menduga apa yang selanjutnya akan terjadi dari pola tersbut dan membuktikannya.
• Gunakan analogi Cobalah untuk memikirkan analogi dari masalah tersebut, yaitu, masalah yang mirip, masalah yang berhubungan, yang lebih sederhana sehingga
memberikan anda petunjuk yang dibutuhkan dalam memecahkan masalah yang lebih sulit. Contoh, jika masalahnya ada pada ruang tiga dimensi,
cobalah untuk melihat masalah sejenis dalam bidang dua dimensi. Atau jika masalah terlalu umum, anda dapat mencobanya pada kasus khusus
• Masukan sesuatu yang baru Mungkin suatu saat perlu untuk memasukan sesuatu yang baru, peralatan tambahan, untuk membuat hubungan antara data dengan hal yang tidak diketahui.Contoh, diagram sangat bermanfaat dalam membuat suatu garis bantu.
• Buatlah kasus Kadang-kadang kita harus memecah sebuah masalah kedalam beberapa kasus dan pecahkan setiap kasus terbut.
• Mulailah dari akhir ( Asumsikan Jawabannya ) Sangat berguna jika kita membuat pemisalan solusi masalah, tahap demi tahap mulai dari jawaban masalah sampai ke data yang diberikan
3. Malaksanakan Rencana
Dalam melaksanakan rencana yang tertuang pada langkah kedua, kita harus memeriksa tiap langkah dalam rencana danmenuliskannya secara detail untuk memastikan bahwa tiap langkah sudah benar. Sebuah persamaan tidaklah cukup!
4. Lihatlah kembali
Kritisi hasilnya. lihatlah kelemahan dari solusi yang didapatkan ( seperti : ketidak konsistenan atau ambiguitas atau langkah yang tidak benar ) Oh iya buku ini saya baca karena penasaran banyak sekali yang merekomendasikannya, terutama buat membina bibit-bibit unggul untuk team olimpiade science.

BAB III
PENUTUP

3.1 Kesimpulan
Masalah adalah sebuah kata yang sering terdengan oleh kita.Namun sesuatu menjadi masalah tergantung bagaimana seseorang mendapatkan masalah tersebut sesuai kemampuannya.Terkadang dalam pendidikan matematika SD ada masalah bagi kelas rendah namun bukan masalah bagi kelas tinggi.Masalah merupakan suatu konflik,hambatan bagi siswa dalam menyelesaikan tugas belajaraannya di kelas.Namun masalah harus diselesaikan agar proses berpikir siswa terus berkembang.
Metode pemecahan masalah “HOW TO SOLVE IT” Reportase langsung dari buku karya G. Polya Sebuah kerangka kerja untuk memecahkan masalah telah di jelaskan G. Polya dalam sebuah buku “How to Solve IT!” (Edisi ke 2, Princeton University Press). Walaupun Polya berfokus pada teknik pemecahan masalah dalam bidang matematika tetapi prinsip-prinsip yang dikemukakannya dapat digunakan pada masalah-masalah umum. Penalaran Induktif merupakan dasar dari proses yang paling kreatif yang terjadi di “dunia nyata”. Fisika membutuhkan laboratorium yang ideal untuk membangun kemampuan dalam penalaran induktif dan menemukan hal-hal baru.
3.2. Saran
Analisa masalah seperti yg dijelaskan G Polya memang penting apalagi kita yg kesehari-harian sering bertemu dengan kasus meski kasus tersebut tidak harus menghitung,kalau saya cermati untuk bidang customer service dibidang saya memang diperlukan ketajaman dalam menganalisa suatu kasus sehingga kasus tersebut bisa close dengan ending memuaskan bagi customer.

DAFTAR PUSTAKA

Nahrowi, Adjie. (2006). Pemecahan Masalah Matematika. Bandung : UPI PRESS
Setyadi, challis. (2009). Rumus Dasyat Matematika. Yogyakarta : Cermelang Publishing

makalah matematika: “teori pemecahan masalah”


BAB I
PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang
Mengingat image anak-anak terhadap bidang studi matematika yang menganggap pelajaran yang sulit, tidak menyenangkan, menakutkan. Masih saja melekat pada kebanyakan anak yang mempelajarinya. Padahal, matematika dapat diberikan kepada anak sejak SD. Anak pada usia sekolah dasar perlu mendapat perhatian khusus karena pada usia inilah kesiapan mental dan emosional anak mulai dibentuk. Penelitian terhadap Pendidikan Anak Usia sekolah dasar menunjukkan bahwa mutu pendidikan dan keberhasilan akademis secara signifikan dipengaruhi oleh kualitas masukan pendidikan yaitu kesiapan mental dan emosional anak memasuki sekolah dasar. Sebab, setelah masa perkembangan ini lewat, berapapun kapabilitas kecerdasan yang dicapai oleh masing-masing individu, tidak akan meningkat lagi. Mata pelajaran matematika di sekolah dasar tidak sebatas membekali siswa terampil melakukan komputasi dan menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari, namun lebih jauh diharapkan melalui belajar matematika siswa dapat mengembangkan kemampuan berpikir logis, kritis dan kreatif secara optimal melalui kemampuan memecahkan masalah. Pembelajaran matematika sebagai salah satu komponen pendidikan di sekolah dasar mempunyai tujuan memberi layanan kepada siswa untuk dapat mengembangkan potensi nalar secara maksimal yang tersebar kedalam ke dalam aspek kognitif, afektif dan psikomotor.
Matematika bukan pelajaran yang hanya berfungsi membuat siswa mampu menyelesaikan soal atau mempersiapkan siswa bisa bekerja di kemudian hari, namun lebih kepada pembentukkan sikap dan kepribadian. Melalui belajar matematika di harapkan siswa mampu bersikap logis-Rasional, tajam dalam berpikir dan menganalisis, kritis, kreatif memiliki kemampuan memecahkan masalah, dan lancar berkomunikasi secara matematik. Sikap dan kepribadian tersebut merupakan tujuan pendidikan seperti yang diamanatkan oleh undang-undang dalam rangka pencerdasan kehidupan bangsa. Untuk membentuk sikap dan kemampuan siswa dalam belajar matematika diantaranya guru harus membiasakan siswa belajar memberi alasan dengan berargumentasi secara kritis, sistematis dan logis. Banyak pendekatan dan metode yang dapat dilakukan guru untuk membiasakan siswa memberi alasan logis dalam belajar matematika diantaranya adalah metode tanya jawab. Tanya jawab merupakan metode belajar-mengajar matematika yang efektif, kemampuan memberi alasan yang logis adalah keterampilan nalar yang berakibat pada benarnya menjawab, baik menjawab pertanyaan lisan maupun pertanyaan tulisan. Mengembangkan kemampuan memberi alasan logis terkait erat dengan pertanyaan tingkat tinggi seperti mengapa dan jelaskan, serta kalimat perintah dan bandingkan dan sejenisnya. Metode tanya jawab juga merupakan salah satu cara yang dapat digunakan untuk membentuk keterampilan dan menciptakan interaksi antara guru-siswa yang mengarah kepada keterlibatan intelektual yang berfungsi untuk merangsang pikiran, mendobrak wawasan yang kaku dan sempit dan emosional sebagai cerminan belajar aktif dan tampaknya kita tidak bisa memungkiri sebuah ungkapan “Matematika merupakan bagian tak terpisahkan dalam kehidupan seseorang”.

1.2. Rumusan masalah
Berpijak dari latar belakang di atas, maka yang menjadi rumusan masalah pada penulisan makalah ini adalah : Apakah teori-teori yang mendukung pemecahan masalah?
1.3. Tujuan
Tujuan pembuatan Makalah ini adalah Untuk Memenuhi salah Satu Tugas Mata kuliah Pemecahan Masalah Matematika serta untuk wawasan dan ilmu kami tentang pembelajaran matematika di SD.
1.4. Metode dan Prosedur
Metode yang digunakan penulis dalam penyusunan makalah ini yaitu dengan mengumpulkan informasi dari berbagai buku dan browsing di internet.

BAB II
PEMBAHASAN

1.1. Teori Gagne
Menurut Gagne. Belajar dapat dikelompokkan enjadi 8 tipe belajar, yaitu belajar isyarat, stimulus respon, rangkaian gerak, ramgkaian verbal, membedakan, pembentukan konsep, pembentukan aturan, dan pemecahan masalah. Kedelapan tipe belajar itu terurut menurut taraf kesukarannya dari belajar isyarat sampai belajar pemecahan masalah.
Dalam pemecahan masalah, biasanya ada lima langkah yang harus dilakukan yaitu:
a. Menyajikan masalah dalam bentuk yang lebih jelas.
b. Menyatakan masalah dalam bentuk yang lebih operasional.
c. Menyusun hipotesis-hipotesis alternatif dan prosedur kerja yangdi perkirakanbaik.
d. Mengetes hipoteis dan melakukan kerja untuk memperoleh hasilnya.
e. Mengecek kembali hasil yang sudah diperoleh.
2.2. Teori Piaget
Piaget mengemukakan tentang perkembangan kognitif yang dialami setiap individu secara lebih rinci, dari mulai bayi hingga dewasa. Teori ini disusun berdasarkan studi klinis terhadap anak-anak dari berbagai usia golongan nenengah di swiss.
Berdasarkan hasil penelitiannya, piaget mengemukakan bahwa ada empat tahap perkembangan kognitif dari setiap individu yang berkembang secara kronologis (menurut usia Render) yaitu: tahap Sensori Motor, dari lahir sampai umur sekitar 2tahun, tahap Praaa, dari sekitar umur2tahun sampai dengan sekitar 7 tahun, tahap Operasi Kongkrit, sekitar umur 7 tahun sampai dengan sekitar umur 11 tahun, tahap Operasi Formal, dari sekitar umur 11 tahun dan seterusnya.
Pada masa opersional kongkrit anak-anak yang berada pada tahap ini umumnya sudah berada di sekolah dasar sehingga sudah semestinya guru-guru SD maupun guru-guru sekolah pendidikan guru mengetahu benar kondisi anak pada tahap ini. Guru-guru harus mengetahui apa yang telah dimiliki anak pada tahap ini dan kemampuan apa yang belum dimilikinya.
2.3. Teori Bruner
Jerome Bruner dalam teorinya bahwa belajar metematika akan lebih berhasil jika proses pengajaran di arahkan kepada konsep-konsep dan struktu-struktur yang terbuat dalam pokok bahasan yang di ajarkan, di samping hubungan yang terkait antara konsep-konsep dan stuktur-struktur.
Dengan mengenal konsep dan stuktur yang tercukup dalam bahan yang sedang dibicarakan, anak akan memahami materi yang harus di kuasainya itu. Ini menunjukkan bahwa yang mempunyai suatu pola atau struktur tertentu akan lebih mudah dipahami dan diingat anak.
Bruner mengemukakan bahwa dalam proses belajarnya anak melewati 3 tahap, yaitu:
a. Tahap enaktif
dalam tahap ini anak secara langsung terlihat dalam memanipulasi (mengotak-atik) objek.
b. Tahap ikonik
dalam tahap ini kegiatan yang dilakukan anak berhubungan dengan mental yang merupakan gambaran dari objek yang dimanipulasinya. Anak tidak langsung memanipulasi objek seperti yang dilakukan siswa dalam tahap enaktif.
c. Tahap simbolik
dalam tahap ini anak memanipulasi simbol-simbol atau lambang-lambang objek tertentu. Anak tidak lagi terikat dengan objek-objek pada tahap sebelumnya. Siswa pada tahap ini sudah mampu menggunakan notasi tanpa ketergantungan terhadap objek.
Selanjutnya masing-masing dalil tersebut secara terperinci,sebagai berikut:
a. Dalil penyusunan (kontrusi)
dalil ini menyatakan bahwa jika anak ingin mempunyai kemampuan dalam hal menguasai konsep, definisi dan semacamnya, anak harus dilatih untuk melakukan penyusunan representasinya. Untuk melekatkan ide atau definisi tertentu dalam pikiran, anak-anak harus menguasai konsep dengan mencoba dan melukan sendiri. Dengan demikian, jika anak aktif dan terlibat dalam kegitan mempelajari konsep yang dilakukan dengan jalan memperlihatkan representasi konsep tersebut, maka anak akan lebih memahaminya.
b. Dalil notasi
dalil notasi mengungkapkan bahwa dalam pengajian konsep, notasi memegang peranan penting. Notasi yang yang digunakan dalam menyatakan sebuah konsep tertentu harus disesuaikan dengan tahap perkembangan mental anak. Ini berarti untuk menyatakan sebuah rumus misalnya, maka notasinya harus daoat difahami oleh anak, tidak rumit dan mudah dimengerti.
c. Dalil pengontrakan dan keanekaragaman
dalam dalil ini dinyatakan bahwa pengontrasan dan keanekaragaman sangat penting dalam melakukan pengubahan konsep dafami dengan mendalam, diperlikan conto-contoh yang banyak, sehingga ank mmpu mengetahui karakterustik konsep tersebut. Anak perlu diberi contoh yang memenuhi rumusan atau teorema yang diberikan.selain itu mereka perlu juga diberi contoh-contoh yang tidak memenuhi rumusan, sifat atau teorema, sehingga diharapkan asak idak mengalami salah pengertian terhadap konsep yang sedang dipelajari.
d. Dalil pengaitan (konektivitas)
dalam dalil ini dinyatakan bahwa dalam matematika antara suatu konsep dengan konsep lainnya terhadap hubungan yang emi. Bukan saja dari segi isi, namun juga dari segi rumus-rumus yang digunakan. Materi yang selalu mungkin merupakan prasyarat bagi yang lainnya. Misalnya konsep pythagoras diperlukan untuk menentukan (ripel pythagoras atau pembuktian rumus kuadratis dalam trigonometri).

makalah matematika: “masalah penemuan dan pembuktian”


BAB I
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah
Matematika sebagai ilmu pengetahuan dengan penalaran deduktifmengandalkan logikadalam meyakinkan akan kebenaran suatu pernyataan. Faktor intuisi dan pola berpikirinduktif banyak berperan pada proses awal dalam merumuskan suatu konjektur (conjecture)yaitu dugaan awal dalam matematika. Proses penemuan dalam matematika dimulai dengan pencarian pola dan struktur, contoh kasus dan objek matematika lainnya.Selanjutnya, semua informasi dan fakta yang terkumpul secara individual inidibangun suatu koherensi untuk kemudian disusun suatu konjektur. Setelah konjekturdapat dibuktikan kebenarannya atau ketidakbenaranya maka selanjutnya ia menjadi suatu teorema. Pernyataan pernyataan matematika seperti definisi, teorema dan pernyataan lainnya.
pada umumnya berbentuk kalimat logika, dapat berupa implikasi, biimplikasi, negasi, atau berupa kalimat berkuantor. Operator logika seperti and, or, not, xor juga sering termuat dalam suatu pernyataan matematika. Jadi membuktikan kebenaran suatu teorema tidak lain adalah membuktikan kebenaran suatu kalimat logika. Materi logika sudah diberikan sejak di bangku SLTA. Namun selama ini, sebagian siswa atau guru masih menganggap logika sebagai materi hapalan, khususnya menghapal tabel kebenaran. Belum tahu mengapa dan untuk apa logika dipelajari.Tanpa menguasai logika maka sulit untuk terbentuknya apa yang disebut dengan logicallythinking. Apa yang terbentuk pada siswa, mahasiswa, guru atau bahkan dosen selama ini lebih dominan pada algorithm thinking atau berpikir secara algoritma.
.Pada tahap awal, pekerjaan memahami bukti bukanlah sesuatu yang menarik karena kita lebih banyak bergelut dengan simbol dan pernyataan logika ketimbangberhadapan dengan angka-angka yang biasanya dianggap sebagai karakter matematika.Kenyataan inilah menjadikan salah satu alasan orang malas untuk memahami buktidalam matematika. Alasan lainnya adalah pekerjaan membuktikan lebih sulit dan tidakpenting. Padahal banyak manfaat yang dapat diperoleh pada pengalaman membuktikanini, salah satunya adalah melatih logically thinking dalam belajar matematika.

1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang tersebut, maka diperoleh permasalahan antara lain:
Bagaimana masalah penemuan dan pembuktian dalam matematika ?
1.3 Tujuan
Tujuan pembuatan makalah ini adalah untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Pemecahan masalah dalam matematika di SD serta untuk wawasan dan ilmu kami tentang masalah penemuan dan pembuktian.
1.4. Metode dan Prosedur
Metode yang digunakan penulis dalam penyusunan makalah ini yaitu dengan mengumpulkan informasi dari berbagai sumber buku dan browsing di internet.

BAB II
PEMBAHASAN

2.1. Pemecahan Masalah Dalam Matematika
Pemecahan masalah merupakan bagian dari kurikulum matematika yang sangat penting karena dalam proses pembelajaran maupun penyelesaiannya, siswa dimungkinkan memperoleh pengalaman menggunakan pengetahuan serta keterampilan yang sudah dimiliki untuk diterapkan pada pemecahan masalah yang bersifat tidak rutin. Melalui kegiatan ini aspek-aspek kemam-puan matematika yang penting seperti penerapan aturan pada masalah tidak rutin, penemuan pola, penggeneralisasian, komunikasi matematika dan lain-lain dapat dikembangkan secara lebih baik.
Sebagaimana tercantum dalam kurikulum matematika sekolah bahwa tujuan diberikannya matematika antara lain agar siswa mampu menghadapi perubahan keadaan yang selalu berkembang, melalui latihan bertindak atas dasar pemikiran secara logis, rasional, kritis, cermat, jujur dan efektif. Tuntutan tersebut tidak mungkin tercapai bila pembelajaran hanya berbentuk hafalan, latihan pengerjaan soal yang rutin, serta proses pembelajaran yang “teacher centered” yang tidak menuntut siswa untuk mengoptimalkan daya fikirnya. Menurut Gagne (1970), keterampilan intelektual tingkat tinggi dapat dikembangkan melalui pemecahan masalah.
Hudojo (1988: 119) menyatakan untuk menyelesaikan suatu masalah, seseorang harus menguasai berbagai hal yang telah dipelajari sebelumnya dan kemudian menggunakannya dalam situasi baru. Selanjutnya Hudojo (1990: 168) juga menyatakan bahwa seseorang dalam merencanakan penyelesaian suatu masalah harus dapat memilih teorema ataupun konsep yang telah dipelajari untuk dikombinasikan sehingga dapat digunakan dalam menyelesaikan masalah tersebut, oleh karena itu masalah yang disajikan kepada siswa harus disesuaikan dengan kesiapan siswa.
Pemecahan masalah matematika seperti halnya pemecahan masalah pada umumnya mempunyai berbagai interpretasi. Menurut Baroody (1993: a) ada tiga interpretasi pemecahan masalah yaitu: pemecahan masalah sebagai pendekatan (approach) tujuan (goal), dan proses (process) pembelajaran. Pemecahan masalah sebagai pendekatan maksudnya pembelajaran diawali dengan masalah, selanjutnya siswa diberi kesempatan untuk menemukan dan merekonstruksi konsep-konsep matematika. Pemecahan masalah sebagai tujuan berkaitan dengan pertanyaan mengapa matematika diajarkan dan apa tujuan pengajaran matematika. Pemecahan masalah sebagai proses adalah suatu kegiatan yang lebih mengutamakan pentingnya prosedur langkah-langkah, strategi/cara yang dilakukan siswa untuk menyelesaikan masalah sehingga menemukan jawaban.Walaupun ketiga interpretasi pemecahan masalah tersebut berbeda, namun dalam praktek ketiganya saling melengkapi (Suharta, 2002: 1).
Menurut Polya (1957), ada empat langkah dalam pemecahan masalah, yaitu memahami masalah, merencanakan penyelesaian, menyelesaikan masa-lah sesuai rencana, dan melakukan pengecekan kembali terhadap semua lang-kah yang telah dikerjakan. Pada pelaksanaan keempat langkah tersebut, tugas utama guru adalah membantu dan memfasilitasi siswa untuk dapat mengoptimalkan kemampuannya mencapai terselesaikannya masalah yang dihadapi secara logis, terstruktur, cermat, dan tepat.
Pada pelajaran matematika untuk memudahkan dalam pemilihan soal perlu dilakukan pembedaan antara soal rutin dan soal tidak rutin.

2.2 Masalah Penemuan Dan Pembuktian
Penalaran dalam matematika sulit dipisahkan dari kaidah-kaidah logika. Penalaran-penalaran yang demikian dalam matematika dikenal dengan istilah penalaran deduktif. Menurut kaidah bahasa Indonesia, penalaran deduktif berarti penalaran yang bersifat deduksi, yaitu penalaran atas dasar hal-hal yang bersifat umum kemudian diturunkan ke hal-hal yang khusus. Sedangkan penalaran induktif, secara bahasa berarti penalaran yang bersifat induksi, yaitu penalaran atas dasar dari hal-hal yang bersifat khusus, kemudian disimpulkan menjadi yang bersifat umum. Tercatat beberapa penjelasan tentang deduksi dalam matematika, di antaranya:
1) Proses penalaran dari prinsip umum diturunkan ke kesimpulan fakta khusus
2) Proses penalaran yang konklusinya diturunkan secara mutlak dari premis-premisnya
3) Suatu argument adalah valid deduktif jika dan hanya jika bahwa tidak mungkin konklusi salah padahal premisnya benar.
Pembuktian yang menggunakan penalaran deduktif biasanya menggunakan kalimat implikatif yang berupa pernyataan jika …, maka …. Kemudian, dikembangkan dengan menggunakan pola pikir yang disebut silogisme, yaitu sebuah argumen yang terdiri atas tiga bagian. Di dalamnya terdapat dua pernyataan yang benar (premis) yang menjadi dasar dari argument itu, dan sebuah kesimpulan (konklusi) dari argument tersebut. Di dalam logika, sebagai cabang (inti) matematika yang banyak membahas tentang silogisme terdapat beberapa aturan yang menyatakan apakah silogisme itu valid (sahih) atau tidak.
1) Premis Mayor – Premis pertama haruslah memiliki satu hal yang berhubungan dengan premis yang kedua
2) Premis Minor – Premis kedua haruslah memiliki satu hal yang berhubungan dengan premis pertama
3) Konklusi – Kesimpulannya haruslah memiliki satu hal yang berhubungan dengan kedua premis tersebut.
Sebagaimana disebutkan pada bagian terdahulu bahwa cara penalaran dengan deduktif di antaranya dapat dilakukan secara aturan inferensi, bukti langsung, bukti tidak langsung, dan induksi matematika. Berikut beberapa contoh sederhana tentang beberapa aturan dalam penalaran deduktif.
1. Bukti Langsung
Termasuk dalam bukti langsung ini di antaranya aturan penarikan kesimpulan modus ponens, inferensi deduksi, dan implikasi transitif.
1). Pembuktian dengan Aturan Modus Ponen (modus ponendo ponens)
Aturan dasarnya: “bila p menyebabkan q, ternyata p benar, maka q benar”
Premis (1) : p q
Premis (2) : p
Konklusi : q
atau ditulis (p q) q  q

Contoh 2.1
Buktikan bahwa siskriminan persamaan kuadrat lebih besar dari nol mempunyai akar real berbeda.
Bukti
Diskriminan dari x2 – 5x + 1 = 0 adalah 21.
x2 – 5x + 1 = 0 mempunyai dua akar real berbeda.
2). Pembuktian dengan Implikasi Transitif
Aturan dasarnya:
Premis (1) : p q
Premis (2) : q  r
Konklusi : p  r
atau ditulis (p q)  (q  r)  (p  r)
Contoh 2.2
Buktikan bahwa dalam himpunan bilangan cacah, kuadrat bilangan ganjil adalah bilangan ganjil
Bukti
Dalam bentuk simbol logika dapat ditulis sebagai berikut.
m  bilangan cacah, ( m) (m bilangan ganjil  m2 bilangan ganjil)
Premis (1) : m bil. ganjil  ada n bil. cacah sehingga m = 2n+1
Premis (2) : m = 2n + 1  m2 = (2n + 1)2
= 4n2 + 4n + 1
= 2(2n2 + 2n) + 1
= 2p + 1 adalah bilangan ganjil
Kesimpulan : Jadi, m bilangan ganjil  m2 bilangan ganjil
2. Kontrapositif
Terkadang kita sulit membuktikan p q secara langsung. Bila demikian keadaanya, kita dapat membuktikan kontrapositifnya, yaitu membuktikan kebenaran q p. Sebab, dalam ilmu logika diketahui bahwa pernyataan p q dan q p adalah ekuivalen. Dikatakan, (p q) ↔ (q p) merupakan tautologi
Contoh 2.3
Buktikan bahwa semua bilangan ganjil tidak habis dibagi dua
Bukti
Gunakan kontrapositifnya, yaitu untuk membuktikan p q cukup dibuktikan q p.
Misalkan p : bilangan ganjil dan q : tidak habis dibagi dua, maka p : bilangan genap dan q : habis dibagi dua.
Akan dibuktikan jika a habis dibagi dua, maka a bilangan genap
Jika a adalah bilangan yang habis dibagi dua, maka ditulis a = 2n; untuk n bilangan bulat. Padahal a = 2n tidak lain sebagai pernyataan dari bilangan genap. Jadi, terbukti jika a habis dibagi dua, maka a bilangan genap.
Dengan kata lain, semua bilangan ganjil tidak habis dibagi dua
3. Bukti Tidak Langsung
Pembuktian argumen dengan cara ini dilakukan dengan jalan membentuk negasi dari konklusinya, yang kemudian dijadikan premis tambahan. Jika akibat langkah ini muncul kontradiksi, maka argumen yang dibuktikan adalah valid. Strateginya dimulai dengan memandang negasi dari proposisinya terbukti. Misalnya, kita ingin membuktikan proposisi p. Kita pandang negasinya, yaitu p. Kita buktikan bahwa p terjadi kontradiksi, misalnya q dan q (tidak mungkin dua sekaligus, sehingga pasti salah). Dari kontrapositif kondisi itu, kita telah membuktikan negasi dari negasi proposisi. Dengan demikian, kita menunjukkan bahwa (q  q)   (p), sehingga (p) = p. Pembuktian tak langsung, dikenal pula dengan pembuktian kontradiksi atau reduction ad absurdum. Pembuktian dengan cara tidak langsung memang rumit, tetapi hal ini dilakukan manakala kita dihadapkan pada masalah pembuktian yang sulit diambil penalarannya secara langsung.
Contoh 2.4
Buktikan bila matriks bujursangkar mempunyai invers, maka inversnya itu tunggal.
Bukti (tidak langsung)
P : matriks bujursangkar yang mempunyai invers
q : invers matris bujursangkar itu tunggal
sehingga q : invers matriks bujursangkar itu tidak tunggal
Andaikan invers matriks bujursangkar itu tidak tunggal misalnya ada dua, yaitu L1 dan L2, dengan L1  L2 .
Misalkan matriks bujursangkar itu M yang mempunyai invers L1 dan L2 dengan L1  L2 ,
maka M L1 = L1M = I (identitas) , begitu pula M L2= L2M = I(identitas)
Padahal, L1 = L1I = L1(M L2)= (L1M) L2 = I L2 = L2
Jadi, L1 ¬harus sama dengan L2 yang berarti bertentangan (kontradiksi) dengan pengandaian bahwa L1  L2 .
4. Induksi Matematika
Pembuktian cara induksi matematika merupakan pembuktian deduktif, meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli.. Pembuktian cara induksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar untuk semua bilangan asli atau semua bilangan dalam himpunan bagiannya. Caranya ialah dengan menunjukkan bahwa sifat itu benar untuk n = 1 (atau S(1) adalah benar), kemudian ditunjukkan bahwa bila sifat itu benar untuk n = k (bila S(k) benar) menyebabkan sifat itu benar untuk n = k +1 (atau S(k+1) benar).
Contoh 2.5
Buktikan bahwa 1 + 2 + 3 + … + n =
Bukti
Harus dibuktikan S(n) = 1 + 2 + 3 + … + n = .
(1) untuk n = 1, benar bahwa S(1) =
(2) Andaikan benar untuk n = k, yaitu
S(k) = 1 + 2 + 3 + … + k = , maka akan dibuktikan benar pula untuk n = k+1, yaitu S(k+1) = 1+ 2 + 3 + … + k + (k+1) = .
Sehingga 1 + 2 + 3 + … + k + (k +1) = + (k +1) = (k+1)
= (terbukti benar)
Jadi, S(n) benar untuk semua bilangan asli.

2.3 Mengepa Kita Perlu Membuktikan
Dalam artikel making mathematics yang berjudul Proof, dapat diakses pada http:/www2.edc.org/makingmath, dijelaskan secara rinci mengenai bukti dalam matematika yang meliputi what is proof, why do we prove, what do we prove, dan how do we prove. Menurut artikel tersebut, paling tidak terdapat enam motivasi mengapa orang membuktikan, yaitu to establish a fact with certainty, to gain understanding, to communicate an idea to others, for the challenge, to create something beautiful, to construct a large mathematical theory. To establish a fact with certainty merupakan motivasi paling dasar mengapa orang perlu membuktikan suatu pernyataan matematika, yaitu untuk meyakinkan bahwa apa yang selama ini dianggap benar adalah memang benar. Tidak dapat dipungkiri selama ini banyak kebenaran fakta di dalam matematika hanya dipercaya begitu saja tanpa adanya kecurigaan terhadap kebenaran tersebut, tidak berusaha membuktikan sendiri, termasuk fakta-fakta yang sangat sederhana.
Kita hanya menggunakan fakta tersebut karena sudah ada dalam buku (it was in the text), atau karena sudah pernah disampaikan oleh guru kita. Memang tidak semua fakta matematika yang dipelajari harus dipahami buktinya. Faktor kepadatan materi dan keterbatasan waktu masih merupakan kendala klasik yang dihadapi oleh pengampu matematika. Namun beberapa fakta sederhana pun sering diabaikan pembuktiannya. Suatu ilustrasi ketika kita mengajar tentang himpunan bilangan real kita pasti menyampaikan bahwa himpunan bilangan real yang disimbolkan dengan R terpecah menjadi dua himpunan bagian yang saling asing, yaitu himpunan bilangan rasional Q dan himpunan bilangan irrasional R n Q. Sangat mudah dipahami untuk definisi bilangan rasional, tetapi tidak begitu jelas pada definisi bilangan irrasional. Bilangan irrasional hanya didefinisikan sebagai bilangan real yang bukan rasional. Pertanyaannya, pernahkah kita membuktikan bahwa p2, ¼ dan e merupakan bilangan irrasional ? Bila bilangan irrasional dapat dicirikan oleh tidak berulangnya angka-angka desimalnya maka bukti ini bersifat temporer. Misalkan seorang siswa dapat menunjukkan bahwa 100 digit angka pada bentuk desimal bilangan ¼ tidak berulang maka siswa tersebut menyimpulkan bahwa ¼ irrasional. Tapi begitu ada siswa lain yang dapat menunjukkan terdapatnya pola pengulangan, misalnya mulai dari digit ke- 150 maka klaim siswa pertama tadi gugur dan harus disimpulkan bahwa ¼ 3 rasional.
Kesimpulan siswa pertama di atas didasarkan pada intuisi bukan didasarkan pada metoda pembuktian yang sahih. Banyak pembuktian yang tidak hanya membuktikan suatu fakta tetapi juga memberikan penjelasan tentang fakta tersebut. Disinilah, pembuktian teorema berfungsi untuk mendapatkan pemahaman (to gain understanding). Seorang pemenang medali ”field”, Pierre Deligne meyatakan bahwa ”I would be grateful if anyone who has understood this demonstration would explain it to me.” Pernyataan ini mengandung makna bahwa bilamana seseorang dapat menjelaskan kembali apa yang sudah dijabarkan oleh Pierre Deligne maka dapat dipastikan bahwa orang tersebut telah memahaminya, mungkin saja penjelasan yang telah disajikan oleh Pierre ada bagian-bagian yang belum jelas. Terkadang, beberapa orang mempunyai pendirian sangat kuat bahwa suatu konjektur adalah benar. Keyakinan ini mungkin berasal dari penjelasan informal atau dari beberapa kasus yang ditemuinya. Bagi mereka tidak ada keraguan terhadap keyakinan itu, tapi belum tentu berlaku untuk orang dari kelompok lain.
Disinilah bukti dapat dijadikan sarana untuk meyakinkan orang lain akan kebenaran suatu idea. Akan tetapi untuk menyusun bukti formal terhadap kebenaran suatu fakta tidaklah mudah. Mengikuti bukti yang sudah ditemukan dan disusun orang lain saja tidak mudah apalagi menyusun sendiri. Membuktikan merupakan tantangan sendiri para matematikawan, membuat penasaran dan begitu terselesaikan maka diperoleh kepuasan intelektual. Ibarat seni, matematika itu indah. Ini paling tidak pendapat para matematika. Bagi orang awam keindahan matematika terlihat dari pola dan struktur objek matematika, seperti bilangan, bangun geometri, simulasi matematika pada komputer. Namun bagi mereka yang sudah mencapai begawan matematika, keindahan sesungguhnya dari matematika (the real beauty of mathematics) terletak pada pola penalaran yang berupa interkoneksi argumen-argumen logis. Ini tercermin pada pembuktian teorema. Keberhasilan memformulasikan satu konjektur, kemudian dapat membuktikannya maka satu masalah dalam matematika terselesaikan.

BAB III
PENUTUP

3.1 Kesimpulan
Pemecahan masalah merupakan bagian dari kurikulum matematika yang sangat penting karena dalam proses pembelajaran maupun penyelesaiannya, siswa dimungkinkan memperoleh pengalaman menggunakan pengetahuan serta keterampilan yang sudah dimiliki untuk diterapkan pada pemecahan masalah yang bersifat tidak rutin. Melalui kegiatan ini aspek-aspek kemam-puan matematika yang penting seperti penerapan aturan pada masalah tidak rutin, penemuan pola, penggeneralisasian, komunikasi matematika dan lain-lain dapat dikembangkan secara lebih baik.
Pembuktian yang menggunakan penalaran deduktif biasanya menggunakan kalimat implikatif yang berupa pernyataan jika …, maka …. Kemudian, dikembangkan dengan menggunakan pola pikir yang disebut silogisme, yaitu sebuah argumen yang terdiri atas tiga bagian. Di dalamnya terdapat dua pernyataan yang benar (premis) yang menjadi dasar dari argument itu, dan sebuah kesimpulan (konklusi) dari argument tersebut. Di dalam logika, sebagai cabang (inti) matematika yang banyak membahas tentang silogisme terdapat beberapa aturan yang menyatakan apakah silogisme itu valid (sahih) atau tidak.
Sebagaimana disebutkan pada bagian terdahulu bahwa cara penalaran dengan deduktif di antaranya dapat dilakukan secara aturan inferensi, bukti langsung, bukti tidak langsung, dan induksi matematika.
3.2 Saran
Belajar matematika dengan cara memahami bukti tidaklah mudah. Dibutuhkan waktu untuk memahami matematika sebagai bahasa logika. Juga, dibutuhkan wawasan matematika yang luas untuk belajar membuktikan fakta-fakta yang lebih rumit. Di dalam bukti termuat nilai-nilai strategis yang dapat melatih kita berpikir secara logis. Keindahan matematika juga banyak terdapat pada harmonisasi penalaran-penalaran dalam bukti. Dengan memahami bukti kita dapat mengikuti alur berpikir para ahli yang pertama kali menemukannya, yang berdampak pada kekaguman terhadap para inventor matematika dan pada akhirnya menyenangi matematika itu sendiri. Berlatih memahami bukti merupakan modal utama untuk dapat melakukan riset matematika.

DAFTAR PUSTAKA

Nahrowi, Adjie. (2006). Pemecahan Masalah Matematika. Bandung : UPI PRESS
Setyadi, challis. (2009). Rumus Dasyat Matematika. Yogyakarta : Cermelang Publishing